Kleinau a bénéficié d'un apprentissage chez Louise Dumont à Düsseldorf jusqu'en 1932 . À partir de 1932, il était principalement actif à Meiningen , Constance , Potsdam et Wuppertal . Après la Seconde Guerre mondiale, il a joué à Brême , Göttingen et Hambourg et à partir de 1949 à Berlin .
Au Deutsche Theater Berlin et à la Volksbühne, il a joué de nombreux grands rouleaux de scène classiques. Il a incarné le Stadthauptmann dans l'auditeur , le vieux Clausen avant le coucher du soleil et le personnage titre dans Wolfgang Langhoffs Faust -Instaging 1949/50. Il a travaillé avec l' épouse de Shaw, Warrens Crafts (1950), Gorkis Yegor Bulytschow (1952) et Lillian Hellmans The Little Foxes (1957). Il a été vu comme le titre dans Othello (1953) et Götz von Berlichingen (1955).
Sa carrière cinématographique commence en 1949 et se concentre sur les productions de DEFA . Peu de mois avant son 50e anniversaire, Kleinau est décédé en 1957 à la suite des suites d'un accident d'automobile près de Merseburg. Sa tombe est située dans le Dorotheenstädtischen Friedhof à Berlin.
Son domaine écrit est dans les archives de l' Académie des Arts de Berlin.